Teoría de resolución de triangulos

 Resolucion de triángulos

Cualquier triángulo puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, donde necesariamente uno de ellos debe de ser un costado.

Es decir, se pueden calcular los tres lados y los tres ángulos del triángulo a partir de tres de ellos, siendo al menos uno de ellos un lado.

Resolución de triángulos conociendo un lado y dos ángulos

Sea un triángulo con un lado y dos ángulos conocidos, por ejemplo a, B y C.

§  El ángulo A se puede calcular a partir de los ángulos B y C. Sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180º, por lo que A es:

§  Los costados b y c se pueden calcular gracias al teorema del seno. Sabemos por el teorema del seno  que:

Por lo tanto, los lados b y c serán:

§  El área del triángulo a partir de los tres elementos conocidos (a, B y C):

Resolución de triángulos conociendo dos costados y un ángulo

Se pueden presentar dos casos:

Se conocen dos costados y el ángulo que forman éstos

Sea un triángulo del que tenemos dos lados y el ángulo que forman, siendo éstos por ejemplo a, b y C.

§  El lado desconocido c se puede calcular a partir del teorema del coseno. Éste se obtiene a partir de los lados a y b y el ángulo que forman C:

§  El ángulo A se obtiene a partir del teorema del seno:

§  El ángulo B se halla sabiendo los otros dos ángulos. Como los ángulos de un triangulo suman 180º, el ángulo B es:

§  El área del triángulo se calculará a partir de los costados conocidos a y b y el ángulo que forman C.:

Se conocen dos costados y un ángulo diferente al que forman éstos

Sea un triángulo con dos costados y un ángulo conocidos, por ejemplo b, c y C.

§  El ángulo B se calcula a partir del teorema del seno. Se sabe por el teorema sel seno que:

Por lo tanto, el ángulo B es:

§  El ángulo A se calcula a partir de los ángulos B y C. La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, por lo que A es:

§  Por el teroema del seno, una vez se conocen los ángulos A y B, se puede calcular el costado a:

§  Sabiendo todos los lados y ángulos, se calcula el áea del triangulo a partir de dos costados y el ángulo que forman:

Resolución de triángulos conociendo los tres lados

Sea un triángulo con los lados a, b y c conocidos.

§  Por el teorema del coseno sabemos que:

Por lo tanto, el ángulo A se calcula como:

§  De la misma manera y por el terorema del coseno, tenemos que:

Y por el mismo procedimiento, el ángulo B es:

§  El ángulo C se obtiene a partir de A y B. La suma de los ángulos del triangulo es de 180º, por lo que C es:

§  El área del triangulo se calcula de la misma forma que el caso anterior:

O bien, también puede calcularse mediante la formula de Heron, ya que los tres costados son conocido:

Articulo tomado de:

http://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/resolucion-triangulos/

Ejercicio resuelto

Una vez configurado el programa, para que funcione en modo gráfico "geometría" procederemos en esta parte del blog  al desarrollo  de ejercicios.
Nuestro primer ejercicio es el ejemplo que se encuentra en  el cuadernillo tema 53.

Ejercicio tomado de Trigonometría  Nivel 2, Número de Tema 53, Ediciones Logikamente

*Haz click en las imágenes para agrandarlas, si consideras que son poco legibles.*

Para iniciar, debemos dibujar el triangulo prestando atención a las unidades dado que GEOGEBRA, por ejemplo, viene configurado para trabajar en radianes y como observamos el ejercicio nos pide en grados.

Para cambiar la configuración de radianes a grados, hacemos click en la parte del menú seleccionando Opciones  y escogemos la opción  Avanzado

Por ultimo, nos aparecerá una nueva ventana que el programa llama Preferencias y escogemos en Unidad angular Grados.












Ahora vamos a dibujar el angulo de 60 grados.
(Un consejo: si el ejercicio ofrece uno de los ángulos, comenzar por dibujar los ángulos, porque  es mas fácil  ajustar los valores de los lados que modificar el de los ángulos).

Como se observa en la figura , para dibujar un angulo escogemos el icono angulo y hacemos click en la opción Ángulo dada su amplitud.

Ahora para dibujar el triangulo utilizaremos el icono de linea (tercero) y trazamos dos linea una partiendo del punto (0,0) hacia A' y la otra del punto "A" hacia la mitad de la linea antes trazada. Al realizar esto podremos luego modificar la longitud de los lados a nuestro gusto.

Posteriormente, dibujaremos el triangulo.
Para ello, como podemos apreciar en el gráfico, utilizamos el icono Polígono. Hacemos click en la opción Polígono y nos ubicamos en el punto (0,0) o punto B, luego arrastramos la linea hasta el punto A' y hacemos click , repetimos el proceso, es decir , oprimimos click en el punto A' y desplazamos hasta el punto A, hacemos click y arrastramos hasta el punto B ó (0,0).

En este punto,  el triangulo esta formado, pero debemos ajustar los lados a los datos del problema.

Para ajustar el lado B (que se representa en la gráfica como   b1)  al valor de 2,8 debemos hacer click en el icono de flecha (el primer icono) y hacer click en el punto C y de este modo ajustar b1 .

Como podemos observar, a medida que variamos el punto C al valor deseado en la parte izquierda en vista algebraica el valor b1 también cambia.

Como el ejercicio nos indica que A=3 cm (valor que se coloco al inicio), ahora b1 es B =2.8 cm que acabamos de ajustar  y como podemos observar C equivale a a1 del triángulo, recien formado,  siendo su valor  de 2,55 cm, Respuesta que coincide con la obtenida usando métodos analíticos - algebraicos.

Finalmente, se hace necesario encontrar los ángulos, siendo esta la  parte mas sencilla de nuestro ejercicio.
Para tales fines, hacemos click en el icono ángulos y un click al interior del angulo formado anteriormente.  Automáticamente el programa dibujará los ángulos faltantes .Como podemos observar uno de los ángulos es 67,92 y el otro 52,08 que son valores muy aproximados a la respuestas analíticas.  
Recordar que en el ejemplo, utilizan siempre 2 decimales . por eso la perdida de precisión en los datos.

Configuración de geogebra

Como se pudo experimentar en la práctica, en ocasiones es difícil comprobar si los ejercicios realizados fueron bien desarrollados. Este blog nos permite comprobar los mismos, empleando como herramienta el programa GEOGEBRA, y de esta manera  obtener una correspondencia, entre la solución analítica y la solución gráfica …..

El presente blog explicara  detalladamente la utilización de GEOGEBRA para la resolución de este tipo de ejercicios….
En esta primera parte, se ofrecerá una idea general en cuanto a la configuración de  GEOGEBRA para trabajar en modo gráfico o con figuras geométricas. 

Lo primero que debemos hacer es ingresar al programa GEOGEBRA , el cual nos mostrara la siguiente ventana (esta es la ventana  presentada )  

Pero como vamos a trabajar con figuras geométricas debemos cambiar del modo calculo simbólico a un modo gráfico. Para hacer esto, digite click en el menú Vista y seleccione la opción Vista gráfica, posteriormente cierre la opción de calculo simbólico…

La apariencia final después de efectuar los pasos descritos arriba, se evidencia en la siguiente imagen:

Como podemos observar, la ventana en modo gráfico no nos presenta ni el grid (cuadricula) ni los ejes "x" e "y" para solucionar esto, activamos el icono mostrado en pantalla:

ver imagen inferior

Ahora , se necesita mostrar la Vista algebraica, este menú nos va a servir para visualizar los datos (puntos, ángulos, dimensiones, áreas) de los triángulos que vayamos a diseñar. Para estos hacemos click en el menu Vistas luego seleccionamos Vista Algebraica (Ctrl+Mayus+A)

Al final la ventana que vamos a utilizar es la siguiente:

Bien  y esto es todo por hoy, cualquier sugerencia o comentario por favor no dudes en escribirme..